কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪, ৫ ও ৬ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৩ অবশিষ্ট থাকে?

বিস্তারিত সমাধান:

যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪, ৫ ও ৬ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৩ অবশিষ্ট থাকে, তা নির্ণয় করার জন্য প্রথমে ৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু. (Least Common Multiple - LCM) বের করতে হবে।

৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু. নির্ণয় পদ্ধতি:

    
• ৪ এর মৌলিক উৎপাদক: \(৪ = ২ \times ২ = ২^২\)
    
• ৫ এর মৌলিক উৎপাদক: \(৫ = ৫^১\)
    
• ৬ এর মৌলিক উৎপাদক: \(৬ = ২ \times ৩\)

অতএব, ৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু. হলো মৌলিক উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল:

\(ল.সা.গু. = ২^২ \times ৩^১ \times ৫^১\)

\(= ৪ \times ৩ \times ৫\)

\(= ৬০\)

যেহেতু ল.সা.গু. ৬০, তাই ৬০ হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যাকে ৪, ৫ ও ৬ দিয়ে ভাগ করলে কোনো অবশিষ্ট থাকে না।

এখন, প্রশ্ন অনুযায়ী প্রত্যেকবার ৩ অবশিষ্ট থাকতে হবে। তাই, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ল.সা.গু. এর সাথে অবশিষ্ট সংখ্যাটি যোগ করে।

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু. + অবশিষ্ট সংখ্যা

\(= ৬০ + ৩\)

\(= ৬৩\)

এই ধরনের সমস্যার ক্ষেত্রে বিকল্পগুলো (Options) পরীক্ষা করেও সঠিক উত্তর দ্রুত খুঁজে পাওয়া যায়। যে বিকল্পটি ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৩ অবশিষ্ট থাকবে, সেটিই সঠিক উত্তর হবে।

    
• অপশন ১: ৩৩
  \(৩৩ \div ৪ = ৮\) বার যায় এবং অবশিষ্ট থাকে \(১\) (৩ নয়)
    
• অপশন ২: ৪৩
  \(৪৩ \div ৬ = ৭\) বার যায় এবং অবশিষ্ট থাকে \(১\) (৩ নয়)
    
• অপশন ৩: ৫৩
  \(৫৩ \div ৪ = ১৩\) বার যায় এবং অবশিষ্ট থাকে \(১\) (৩ নয়)
    
• অপশন ৪: ৬৩
  \(৬৩ \div ৪ = ১৫\) বার যায় এবং অবশিষ্ট থাকে \(৩\)
  \(৬৩ \div ৫ = ১২\) বার যায় এবং অবশিষ্ট থাকে \(৩\)
  \(৬৩ \div ৬ = ১০\) বার যায় এবং অবশিষ্ট থাকে \(৩\)

যেহেতু ৬৩ সংখ্যাটিকে ৪, ৫ ও ৬ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৩ অবশিষ্ট থাকে, তাই ৬৩ হলো নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।